a,b,c>0
CMR \(\dfrac{5b^2-a^3}{ab+3b^3}+\dfrac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\dfrac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\le a+b+c\)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(M=\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\dfrac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\dfrac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
Ta chứng minh bổ đề sau:
\(\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3b^2a\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có
\(M\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\)Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
cho a,b,c>0
cmr \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3b^2}+\frac{5b^3-c^3}{cb+3c^2}+\frac{5c^3-a^3}{ac+3a^2}\le a+b+c\)
Xem kỹ lại đề nhé. Anh không nghĩ đề đúng đâu
Chứng minh: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3b^2}\le2a-b\)
Còn lại tương tự
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le3\)
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Cho 3 số dương thỏa mãn a+b+c \(\le\)2018 . Cm:
\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\)+ \(\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\) + \(\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\) \(\le\) 2018
Lời giải:
Xét \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2\geq 0, \forall a,b>0\)
Do đó \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\) với mọi $a,b>0$
\(\Rightarrow b^3\geq ab(a+b)-a^3\)
\(\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{5a^3-[ab(a+b)-a^3]}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-b(a+b)}{b+3a}\)
hay \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{(2a-b)(3a+b)}{b+3a}=2a-b\)
Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\text{VT}\leq a+b+c\leq 2018\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2018}{3}\)
\(\dfrac{5a+3b}{3a+b+2c}\)+\(\dfrac{5b+3c}{3b+c+2a}\)+\(\dfrac{5c+3a}{3c+a+2b}\)\(\ge4\) a,b,c là độ 3 cạnh tam giác
cho a;b;c >0. CMR:
\(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}\ge a+b+c\)
Đề bài bị trái dấu bạn nhé
CM \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3ab^2\)
\(\Leftrightarrow b^3+a^3-ab^2-ba^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)đúng với mọi a, b>0
CMTT các hạng tử khác
\(\Rightarrow P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}+\frac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}\le2b-a+2c-b+2a-c=a+b+c\)
vậy đề sai rồi chứ mình giải mãi chả ra mà toàn ngược dấu nên mình tưởng mình sai
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Chuẩn hóa: a+b+c=3k
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k}=3\)
Đặt (\(\dfrac{a}{k};\dfrac{b}{k};\dfrac{c}{k}\))\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)\);x+y+z=3
ĐPCM\(\Leftrightarrow\)\(\sum\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le3\left(x+y+z\right)\)
Ta CM BĐT:
\(\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le4y-x\Leftrightarrow-\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(x+y\right)}{xy+5y^2}\le0\)(đúng)
CMTT\(\Rightarrow\)ĐPCM
cho a,b,c>0 .CMR \(\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{3}\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=2007. CMR:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2007\)
Xét Bất đẳng thức phụ:
\(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2\le a^3+b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự ta có:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\le2a-c\);\(\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2c-b\)
Cộng lại theo vế ta có:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2b-a+2a-c+2c-b=a+b+c=2007\)
Đpcm
l405ttol9to5l9g